Kas yra aritmetinis? Pagrindinė teorema aritmetika. dvejetainė aritmetika

Kas yra aritmetinis? Kai žmonija pradėjo naudoti numerius ir dirbti su jais? Kur yra jos šaknys kasdienių sąvokų, pavyzdžiui, skaičiai, frakcijos, atimties, sudėties ir daugybos, kad asmuo padarė neatskiriamą jo gyvenimą ir perspektyvos? Graikijos protai žavisi tokius mokslus, kaip matematikos, aritmetikos ir geometrijos, kaip gražus simfoniją žmogaus logika.

Gal matematika yra ne taip giliai, kaip kitų mokslų, bet kas nutiktų, jiems žmonės pamiršta elementarius daugybos lentelės? Susipažinę su mumis loginis mąstymas, naudojant skaičius, frakcijos, ir kitas priemones, kad žmonėms labai sunku, ir ilgą laiką buvo neprieinama mūsų protėviai. Tiesą sakant, prieš aritmetika plėtros jokia žmogaus pažinimo sritį nebuvo tikrai mokslinė.

Aritmetika - Matematika yra abėcėlė

Aritmetika - mokslas apie numerius, su kuriais bet kuris asmuo pradeda pažintį su patrauklių pasaulis matematikos. Be M. V. Lomonosovo žodžius, aritmetinis - tai mokymosi vartai, atveriant kelią mums Miropoznanie. Bet jis teisus, yra žinios apie pasaulyje gali būti atskirtas nuo raidžių ir skaičių, matematikos ir kalbos žinių? Gal senais laikais, bet ne šiuolaikiniame pasaulyje, kur sparti mokslo ir technologijų leidžia savo įstatymus.

Žodis "aritmetinis" (GK. "Arifmos") graikų kilmės, reiškia "numeris". Ji nagrinėja skaičiaus, o visi, kurie gali būti susiję su jais. Tai skaičių pasaulį: įvairių operacijų skaičių, skaitinių taisykles, užduotis, kurios yra susijusios su daugybos, atimties, ir tt ..

Visuotinai priimta, kad pradinis žingsnis yra aritmetinis Matematika ir tvirtą pagrindą sudėtingesnių jos skyriuose, pavyzdžiui, algebros, matematinės analizės, Aukštoji matematika ir T. D.

Pagrindinis objektas aritmetika

Aritmetines pagrindas - yra sveikasis skaičius, savybės ir įstatymus, kurie laikomi aukščiausia aritmetinis arba skaičių teorija. Iš tiesų, kaip teisingas požiūris yra priimtas, atsižvelgiant į tokios mažos vieneto, kaip natūralus skaičius priklauso nuo pastato stiprumas - matematika.

Todėl klausimas, kad yra aritmetika, atsakymas yra paprastas: jis yra skaičių mokslas. Taip, apie įprastą septyni, devyni, ir visą šį įvairios bendruomenės. Ir lygiai taip pat, ir labiausiai pusėtinas eilutės negali rašyti be pagrindinio abėcėlės, be aritmetinis negali būti išspręsta net pagrindines užduotis. Štai kodėl visi mokslai Išplėstinė tik po aritmetika ir matematikos vystymąsi, yra pirmiausia prielaidų rinkinys.

Aritmetika - mokslas-vaiduoklis

Kas yra aritmetinis - gamtos mokslų ar Phantom? Iš tikrųjų, kaip motyvuotas senovės graikų filosofai, nėra numeriai, nėra skaičiai realybėje neegzistuoja. Tai tiesiog Phantom, kuris yra sukurtas žmogaus minties, žiūrint į aplinką ir joje vykstančius procesus. Tiesą sakant, tai, kas yra numeris? Niekur aplink nematome nieko panašaus, kad gali būti vadinamas skaičius, o jų skaičius - tai yra būdas ištirti žmogaus proto pasaulį. Galbūt šis tyrimas turime savyje? Filosofai teigia apie tai daugelį šimtmečių iš eilės, todėl duoti išsamų atsakymą, mes neplaukioja. Bet kuriuo atveju, aritmetinis gali taip tvirtai imtis savo poziciją šiuolaikiniame pasaulyje niekas negali būti laikoma socialiai pritaikyti be pamatų žinių.

Nes buvo teigiamas sveikasis skaičius

Žinoma, pagrindinis objektas, kuris veikia aritmetiką, - natūralių skaičių, pavyzdžiui, 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... ir tt Aritmetika natūralių skaičių yra paprastų objektų, tokių kaip karvių pievoje sąskaita rezultatas. Vis dėlto, kad "daug" arba "šiek tiek", kai kažkas nustojo eiti žmonės, ir turėjo sugalvoti sudėtingesnį skaičiavimo techniką apibrėžimas.

Tačiau realus laimėjimas atėjo, kai žmogaus protas pasiekė tašką, kad gali būti vienas ir tas pats numeris "du" paskirti ir 2 kg, ir 2 plytų ir 2 dalių. Tai, kad būtina abstraktus iš formų, savybių ir reikšmės objektų, tada mes galime gaminti tam tikrus veiksmus su šių objektų į teigiami sveikieji skaičiai formą. Taip gimė skaičių aritmetika, kuri yra toliau plėtojama ir išplėstos užima visuomenėje poziciją.

Toks išsamus iš skaičiaus sąvoka, kaip nulio ir neigiami skaičiai, trupmenos, skaičiai reiškia skaičių kitais būdais, turi turtingą ir įdomią istoriją plėtrai.

Aritmetiniai ir praktiniai egiptiečiai

Du senovės žmogaus kompanionas pasaulio tyrimo ir sprendžiant kasdienes problemas - tai aritmetinis ir geometrija.

Manoma, kad aritmetinis istorija turi savo šaknis senovės Rytuose: Indijoje, Egipte, Babilone ir Kinijoje. Taigi, Rhind papirusas egiptietį kilmė (taip pavadintas, nes tas pats vardas, priklausantis savininkui), datuojamas XX amžiuje. BC, be kitų vertingų duomenų apima frakcija išplėtimas į frakcijas su skirtingais vardiklių ir skaitiklį suma yra lygi vienam sumą.

Pavyzdžiui: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Bet kas yra tokioje sudėtingoje skilimo prasmė? Tas faktas, kad Egipto požiūris netoleruoja abstrakti mąstymo apie numerius, priešingai, skaičiavimai buvo atlikti tik praktiniais tikslais. Tai reiškia, kad egiptiečiai bus užsiima tokia veikla kaip skaičiavimais, vien tik tam, kad pastatyti kapą, pavyzdžiui. Tai buvo būtina apskaičiuoti fin struktūros ilgį ir ji padarė asmuo sėdėti papirusas. Kaip galima matyti, Egipto pažanga skaičiavimuose buvo vadinamas, o masyvi, pastato, o ne mokslo meilę.

Dėl šios priežasties, rasti papirusai skaičiavimai, negali būti vadinamas atspindžių iš frakcijų tema. Labiausiai tikėtina, kad tai yra praktinį pasirengimą, kuris padėjo dar labiau spręsti problemas, susijusias su frakcijomis. Senovės egiptiečiai nežinojo daugybos lentelę, gaminamas gana ilgų skaičiavimų, išsikeroti į daugelį smulkesnes užduotis. Galbūt tai yra vienas iš tų smulkesnes užduotis. Tai lengva pastebėti, kad skaičiavimai su šiomis ruošiniai yra labai daug laiko ir nėra labai perspektyvus. Galbūt dėl šios priežasties mes nematome didelių indėlį į senovės Egipto matematikos vystymąsi.

Senovės Graikija ir filosofinė aritmetinis

Daugelis senovės Rytų žinios buvo sėkmingai įvaldę senovės graikai, žinoma, gerbėjai abstraktaus, abstraktaus ir filosofinės refleksijos. Praktikos juos domina ne kas kita, bet geriausi teoretikai ir mąstytojai yra sunku rasti. Tai buvo gera mokslo, nes matematika yra neįmanoma gilintis, o ne draskė ją su realybe. Žinoma, tai įmanoma padauginti 10 karvių ir 100 litrų pieno, bet negalės judėti šiol.

Graikai mąstymo giliai paliko didelę žymę istorijoje, ir jų darbai pas mus:

• Euklidas ir "Elementai".
• Pitagoras.
• Archimedas.
• Eratosthemes.
• Zenon.
• Anaksagoras.

Ir, žinoma, tampa visą graikų filosofiją ir ypač Pitagoro atvejais pasekėjai buvo taip aistringai apie numerius, kuriuos laikė paslaptis pasaulyje harmoniją. Skaičiai buvo taip tyrė ir ištyrė, kad kai kurie iš jų ir jų poroms priskirti specialias savybes. Pavyzdžiui:

• Patogių numeriai - tuos, kurie yra visų jo daliklis sumą, išskyrus paties skaičiaus (6 = 1 + 2 + 3).
• Draugiškos numeriai - šie skaičiai, iš kurių vienas yra visų antrą ir atvirkščiai daliklis suma (Pitagoro žinau tik vieną tokią porą: 220 ir 284).

Graikai, kurie tikėjo, kad mokslas turėtų būti mylimam, o ne būti su ja dėl naudos labui, padarė didelę pažangą, tiria, žaisti ir pridedant numerius. Reikėtų pažymėti, kad ne visi jų mokslinių tyrimų buvo plačiai naudojamas, kai kurie iš jų buvo tik "dėl grožio".

Rytų mąstytojų viduramžiais

Be to, viduramžiais aritmetines ji skolinga savo plėtrą į Rytų amžininkų. Indai davė mums skaičiai, kad mes aktyviai naudoti tokį dalyką kaip "nulis", ir padėties kitimo skaičiavimo sistemą, įprastą modernią suvokimą. Al-košės, kuri 15 amžiuje dirbo Samarkando, mes paveldėjo po kablelio, be kurių sunku įsivaizduoti modernią aritmetiką.

Daugeliu atžvilgių, Europa susipažinti su Rytų pasiekimai tapo įmanoma dėka Italijos mokslininkas Leonardo Fibonacci, kuris parašė knygą "Liber Abaci", supažindinti su rytietiškais naujoves darbe. Ji tapo iš algebros ir aritmetikos, mokslinių tyrimų ir mokslinės veiklos plėtrą Europoje kertinis akmuo.

Rusų aritmetinis

Galiausiai, aritmetika, rado savo vietą ir įsišaknijusi Europoje pradėjo plisti nuo Rusijos žemėje. Rusijos pirmoji aritmetinis paskelbtas 1703 - tai buvo knyga apie aritmetinį Leontiya Magnitskogo. Ilgą laiką tai buvo vienintelė pamoka matematika. Jame pradinius momentus algebros ir geometrijos. Skaičiai, kurie buvo naudojami pirmosios Rusijos vadovėlio aritmetikos, arabų pavyzdžių. Nors arabiški skaitmenys susitiko anksčiau, graviūrų, datuojamas 17 amžiuje.

Pati knyga puošia vaizdų Archimedo ir Pitagoras, o pirmame puslapyje - vaizdo aritmetika kaip moteris. Ji sėdi ant sosto, po juo parašyta hebrajų žodis Dievo vardu, ir apie veiksmus, kurie veda prie altoriaus, įrašytų su žodžiu "padalinio", "padidinti", "PAPILDYTA", ir pan., D. Galima tik įsivaizduoti, kas vertė išdavikas tokios tiesos, kuri yra dabar laikoma įprasta.

Iš 600 puslapių vadovėlį apibūdina kaip, pavyzdžiui, sudėties ir daugybos lenteles, ir paraiškų navigacijos mokslų pagrindu.

Nenuostabu, kad autorius pasirinko graikų mąstytojų už savo knygą įvaizdį, nes jis pats buvo žavėjo pagal aritmetines grožio, sakydamas: "Aritmetika jau chislitelnitsa ten esi sąžiningas, nezavistnoe ...". Toks požiūris į aritmetika yra pagrįstas, nes tai yra jos visuotinai priimti gali būti laikomas sparti mokslo minties Rusijoje ir bendrojo lavinimo pradžia.

neramus PRIMES

Pirminis skaičius - tai natūralusis skaičius, kuris yra tik 2 teigiami daliklis: 1 ir savaime. Visi kiti skaičiai, išskyrus 1 yra vadinamas sudėtinis. Pavyzdžiai paprastų skaičių: 2, 3, 5, 7, 11, ir visi kiti, kurie nėra kitų nei 1 daliklis ir pati numeris.

Kalbant apie skaičius 1, tai yra priemoka - yra susitarimas, kad ji turėtų būti laikoma nei paprasta, nei junginys. Paprasta pirmo žvilgsnio, paprastas skaičių slepia daug neišspręstų paslapčių savyje.

Euklido teoremos sako, kad begalinis skaičius primes, ir Eratosthemes atėjo su specialiu aritmetinis "sietą", kuri pašalina sudėtingiausias numerius, paliekant tik paprasta.

Jo esmė yra pabrėžti pirmąjį trynimo panaikinimas skaičių, o vėliau išbraukiant tuos, kurie yra kartotiniai jį. Mes pakartoti šią procedūrą kelis kartus - ir gauti paprastų skaičių lentelę.

Pagrindinė teorema aritmetika

Tarp pastabas apie pirminių skaičių reikia specialiai paminėti pagrindines aritmetines teorema.

Pagrindines aritmetines teorema teigia, kad bet koks sveikasis skaičius didesnis nei 1, arba paprastas, arba ji gali būti išskaidytas į keletą paprastų skaičių iki pakartotos veiksnių, vienintelis būdas tam produktui.

Pagrindinė teorema aritmetika įrodė gana sudėtinga, ir suprasti tai nepatinka tik pagrindai.

Iš pirmo žvilgsnio, paprastų skaičių - elementarios sąvokos, tačiau taip nėra. Fizika taip pat dar laikomas ELEMENTARY atomas, kol ji rado viduje visatoje. PRIMES skirta gražus istorija matematikas Don Zagier "Pirmasis penkiasdešimt milijonų paprastų skaičių."

Iš "trys obuoliai" į dedukcinių įstatymų

Tai tikrai gali būti vadinamas gelžbetonio pamatai visų Mokslas - aritmetines įstatymus. Net kaip vaikas visa aritmetika veido, studijuoja kojų ir rankų skaičių lėlės, su kubeliais, obuolių skaičių ir pan., D. Taigi, mes mokytis aritmetika, kuri vėliau progresuoja į daugiau sudėtingų taisyklių.

Visa mūsų gyvenimas pristato mums aritmetines taisykles, kurios buvo paprastas žmogus labiausiai naudinga visų, kad mokslas suteikia. Skaičių tyrimas - tai "aritmetinis-kūdikis", kuris pristato vyro numerių pasaulyje skaitmenų ankstyvoje vaikystėje.

Didesnis aritmetinis - dedukcinis mokslas, nagrinėjantis aritmetines įstatymus. Dauguma jų mes žinome, nors galbūt mes nežinome tikslios jų formuluotės.

Iš to ir daugybos teisė

Bet du sveikieji skaičiai a ir b gali būti išreikštas kaip A + B, kuris taip pat yra natūralusis skaičius, suma. Dėl to, šių teisės aktų:

• Komutatyvi, kad sako, kad kalbant kombinacija vietų skaičiaus nesikeičia, arba A + B = b + a.
• Asociatyvus, kad minėtas suma nėra priklauso nuo grupės terminus tose vietose, metodą, arba + (b + c) = (a + b + c).

Taisyklės aritmetika, pavyzdžiui, to, - viena iš pagrindinių, bet jie naudojami visi mokslus, jau nekalbant apie kasdieniame gyvenime.

Bet du sveikieji skaičiai a ir b galima išreikšti produkto ar B * a * b, kuri taip pat yra natūralusis skaičius. Taikyti Prekė tuos pačius jungiamas ir Association įstatymus, į to:

• a * b = b *;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Įdomu tai, kad yra įstatymas, kuris jungia sudėties ir daugybos, taip pat žinomas kaip platinant ar paskirstymo teisės:

dalis (b + c) = ab + AC

Šis įstatymas moko dirbti su laikikliais, juos atidarius, todėl jau galime dirbti su sudėtingesniais formules. Tai yra įstatymai, kurie bus sukelti su mumis per nuostabus, bet sudėtingą pasaulį algebra.

Teisė aritmetinis tvarka

apie žmogaus logika įstatymų ji naudoja kiekvieną dieną, tikrinti savo laikrodį ir skaičiuoti sąskaitas. Ir, nepaisant to, ir ji turėtų būti atliekami į konkrečios kalbos.

Jei mes turime du teigiami sveikieji skaičiai a ir b, tada šias pasirinktis:

• a yra lygus b, arba a = b;
• mažiau nei b, arba
• a yra didesnis negu b, arba> b.

Iš trijų variantų tiesiog gali būti tik vienas. Pagrindinis įstatymas, kuris reglamentuoja procedūrą, sakė: jei A

Taip pat yra įstatymai, kurie surišti į sudėties ir daugybos kad veiksmai: jei

Aritmetines įstatymai mus išmokė dirbti su skaičiais, ženklais ir skliausteliuose, tekinimo viską į harmoningą simfoniją skaičių.

Pozicinis ir nonpositional numeravimo sistema

Galime sakyti, kad skaičiai - tai matematikos kalba, iš patogumui kurios priklauso nuo daugelio dalykų. Yra daug sistemų skaičiavimo, kuris, kaip ir skirtingų kalbų abėcėlių skirtis.

Apsvarstykite skaičių sistemą pozicijos įtakos skaitmeninei kiekybinei reikšmei šioje pozicijoje požiūriu. Pavyzdžiui, romėnų sistema yra neteisinga, kai kiekvienas numeris yra koduojamas specialiu specialių simbolių rinkiniu: I / V / X / L / C / D / M. Jie yra lygūs 1/5/10/50/100/500 / 1000 Tokioje sistemoje šis skaičius nekeičia kiekybinio apibrėžimo, priklausomai nuo to, ką jis reiškia: pirmoji, antroji ir tt Norėdami gauti kitus numerius, turite pridėti pagrindinius. Pavyzdžiui:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mums labiau žinoma, kad skaičių sistema, naudojant arabiškus skaitmenis, yra pozicionali. Tokioje sistemoje skaitmenų skaičius nustato skaitmenų skaičių, pavyzdžiui, trijų skaitmenų numerius: 333, 567 ir tt Bet kurio skaičiaus svoris priklauso nuo pozicijos, kurioje yra tas arba tas skaitmuo, pavyzdžiui, antrojoje pozicijoje esantis numeris 8 turi 80 reikšmę. Tai yra dešimtųjų sistemų charakteristika, yra ir kitos padėties nustatymo sistemos, pavyzdžiui, dvejetainiai.

Dvejetainė aritmetė

Mes žinome dešimtainę skaičiavimo sistemą, susidedančią iš vienaženkliu skaičiumi ir daugialypiais skaičiais. Daugiaženklis skaitmuo kairėje yra dešimt kartų didesnis nei dešinėje pusėje. Taigi, mes skaitome 2, 17, 467 ir tt visiškai skiriasi logika ir požiūris į skyrių, kuris vadinamas "dvejetainė aritmetika". Tai nenuostabu, nes dvejetainė aritmetika nėra sukurta žmogaus logikai, bet kompiuteriui. Jei numerių aritmetė įvyko iš objektų sąskaita, kuri vėliau ištraukta iš objekto savybių į "atviros" aritmetines, tai neveikia su kompiuteriu. Kad galėtų dalytis savo žiniomis su kompiuteriais, žmogus turėjo sugalvoti tokį skaičiavimo modelį.

Dvejetainiai aritmetiniai darbai su dvejetainiu abėcėlu, kurį sudaro tik 0 ir 1. Ir šios abėcėlės naudojimas vadinamas dvejetainiu skaičiavimo sistema.

Skirtumas tarp dvejetainio aritmetinio ir dešimtainio yra tai, kad pozicijos reikšmė kairėje nebe 10, o 2 kartus. Binariniai skaičiai turi formą 111, 1001 ir tt Kaip suprasti tokius skaičius? Taigi, apsvarstykite skaičių 1100:

1. Pirmasis skaitmuo kairėje yra 1 * 8 = 8, prisimenant, kad ketvirtasis skaitmuo, taigi, jis turi būti padaugintas iš 2, mes gauname poziciją 8.
2. Antrasis skaitmuo yra 1 * 4 = 4 (4 pozicija).
3. Trečias skaitmuo yra 0 * 2 = 0 (2 pozicija).
4. Ketvirtasis skaitmuo yra 0 * 1 = 0 (1 pozicija).
5. Taigi, mūsų numeris yra 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Tai reiškia, kad, pereidami prie naujo skaitmeno kairėje, jo reikšmė dvejetainėje sistemoje yra padauginta iš 2, o dešimtajame dešimtmetyje - 10. Ši sistema turi vieną minusą: pernelyg didelis skaičių augimas reikalingas skaičių rašymui. Toliau pateiktoje lentelėje galite rasti dešimtainių skaičių atstovavimo dviejų skaitmenų numerių pavidalu.

Žemiau pateikiami dešimtainiai skaitmenys dvejetainėje formoje.

Taip pat naudojamos aštuonkės ir šešioliktainės skaičiavimo sistemos.

Ši paslaptinga aritmetika

Kas yra aritmetinis, "du kartus du" ar nežinomi numerių slėpiniai? Kaip matote, aritmetinis iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti paprasta, bet jo akivaizdus lengvumas yra apgaulingas. Tai gali būti ištirta ir vaikai kartu su teta Sova iš animacinių filmų "Aritmetinis kūdikis", ir jūs galite pasinerti į giliai mokslinius tyrimus beveik filosofinės tvarkos. Istorijoje ji nuėjo nuo objektų skaičiavimo iki numerių grožio garbinimo. Tik vienas dalykas yra tikras: su pagrindinių aritmetinių poetatų nustatymu, visas mokslas gali remtis stipriu pečiu.