Lygtis - kas tai? Raiškos, pavyzdžiai

Atsižvelgiant į matematikos mokykloje, žinoma, vaikas pirmą kartą girdi žodį "lygtis". Kas tai yra, pabandyti suprasti kartu. Šiame straipsnyje mes manome, rūšis ir jų sprendimo būdus.

Matematika. lygtis

Norėdami pradėti siūlyti spręsti pačiame sąvokos, kas tai yra? Kaip teigiama daugelyje vadovėlių matematikos, lygtis - tai kai kurių posakių, tarp kurių jums tikrai turėtų Zodiako lygybės. Šiose išraiškose yra raidės, vadinamasis kintamasis, kurio reikšmė yra ir turi būti rasta.

Kas yra kintamasis? Ši sistema atributas, keičia savo vertę. Geras pavyzdys kintamųjų yra:

• oro temperatūra;
• augimas vaikui;
• svoris ir pan.

Matematikos, jie paskyrė raidėmis, pavyzdžiui, X, A, B, C ... Paprastai matematikos užduotis yra taip: rasti verčių lygties. Tai reiškia, kad jums reikia rasti šių kintamųjų vertę.

rūšis

Lygtis (tai yra, mes aptarta ankstesniame punkte) gali būti tokia forma:

• tiesinis procesas;
• kvadratinių;
• kubinių;
• algebrinė;
• transcendentinis.

Norėdami daugiau sužinoti apie visų tipų, apsvarstyti kiekvieną atskirai.

tiesinė lygtis

Tai yra pirmos rūšies, kuri supažindins moksleivius. Jie išspręsta gana greitai ir lengvai. Taigi, tiesinė lygtis, kas tai yra? Ši forma išraiška: S = C. Taigi nėra labai aiškus, todėl pateikti keletą pavyzdžių: 2 = 26; 5x = 40; 1.2x = 6.

Panagrinėkime lygtis pavyzdžių. Norėdami tai padaryti, mes turime surinkti visus žinomus duomenis iš vienos pusės, ir nežinoma kita: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Buvo naudojamas elementarių taisyklių matematikos: a * c = E, tai C = E / A; a = E / s. Tam, kad būtų užbaigtas lygtys sprendimą, mes atlikti vieną veiksmą (šiuo atveju, skaidymo) x = 13; x = 8; x = 5. Tai buvo esantys dauginimo dabar matomo į atimties ir adityvinės pavyzdžiai: x + 3 = 9; 5-10X = 15. Žinomas duomenys yra perduodami viena kryptimi: x = 9-3; x = 20/10. Mes atlikti paskutinį veiksmą: x = 6; x = 2.

Taip pat variantai iš linijinių lygtis, kur daugiau nei vienas kintamasis: 2x-2y = 4. Siekiant išspręsti, būtina pridėti kiekviena dalis 2Y, mes gauname 2x-2y + 2y = 4-2u, kaip matėme, kairėje pusėje lygybės ženklą ir -2u + 2y sumažintas, todėl mes liko: 2x = 4 -2u. Paskutinis žingsnis takoskyra kiekvienas iš dviejų dalis, kurią mes gauname atsakymą: X yra du atėmus m.

Problemos su lygtis randama net Rhind Matematinio Papyrus. Štai viena iš problemų: skaičių ir ketvirta dalis suteikia 15 viso Norėdami išspręsti šią problemą, mes rašyti šią lygtį: X plius vieną ketvirtąją X reiškia penkiolika. Mes matome dar vieną pavyzdį tiesinės lygties už visų sprendimų, mes gauname atsakymą: x = 12. Bet ši problema gali būti išspręsta kitu būdu, būtent Egipto, arba kaip jis vadinamas kitaip, spekuliacijos būdu. Į papiruso naudojo tokią sprendimą: keturi ir jį ketvirtį, tai yra viena. Trumpai tariant, jie penki, penkiolika dabar turi būti padalinta iš sumos, kurią mes gauname tris paskutinis veiksmas iš trijų, padaugintą iš keturių. Mes gauname atsakymą: 12. Kodėl mes susiduriame su penkiolika padalinus iš penkių? Taigi, mes sužinoti, kiek kartų penkiolika, tai yra, rezultatas, kurio mes turime gauti bent penkis. Tokiu būdu, mes išsprendėme viduramžiais problemų tapo vadintis melagingos pozicijos metodas.

kvadratinė lygtis

Be anksčiau aptartų pavyzdžių, yra ir kitų. Kurios iš jų? Kvadratinė lygtis, kas tai yra? Jie turi formą ax ² + bx + c = 0. Norėdami išspręsti juos, jūs turite susipažinti su kai kurių sąvokų ir taisyklių.

Pirma, jums reikia rasti formulės diskriminantinis: B ² -4ac. Yra trys būdai išspręsti rezultatus:

• diskriminantinė yra didesnė, negu nulis;
• mažesnė, negu nulis;
• yra lygus nuliui.

Pirmoje versijoje mes galime gauti atsakymą iš dviejų šaknų, kurie pagal formulę: -B + A į Diskriminantas padalinus iš dvigubai pirmą koeficiento šaknies, ty 2a.

Antruoju atveju, lygtys ten šaknys. Trečiasis atvejis yra formulės šaknis: -B / 2a.

Apsvarstykite kvadratin lygtis pavyzdį išsamesnės pažinties: trys x kvadratu minus keturiolika X atėmus penkis lygus nuliui. Norėdami pradėti su, kaip parašyta aukščiau, ieško diskriminantinis, mūsų atveju jis yra lygus 256 Atkreipkite dėmesį, kad Gautas skaičius yra didesnis už nulį, todėl turėtume gauti atsakymą, sudarytą iš dviejų šaknų. Pavaduojantis gauti diskriminantinės formulę rasti šaknis. Kaip rezultatas, mes turime: X reiškia penkių atėmus trečdalį.

Specialūs atvejai, kvadratin lygtis

Šie pavyzdžiai, kurioje kai kurie iš reikšmių yra nulis (a, b arba c), ir galbūt daugiau.

Pavyzdžiui, apsvarstyti šią lygtį, kuri yra kvadratinis, dviejų X kvadratu yra lygi nuliui, čia matome, kad B ir C yra lygi nuliui. Pabandykime ją išspręsti, nes tai abiejų pusių padalinti dvi dalis, mes turime: x ² = 0. Kaip rezultatas, mes gauname x = 0.

Kitas atvejis yra 16x ² = 0 -9. Čia tik B = 0. Mes sprendžiame lygtį, laisvo perdavimo dešinėje pusėje koeficientas: 16 x ² = 9, dabar kiekviena dalis yra padalinta šešiolika x ² = devynių šešioliktinių. Kadangi mes x kvadratu, kvadratinės šaknies 9/16 gali būti arba teigiamas ar neigiamas. Atsakymas parašytas taip: X yra lygus plius / minus tris ketvirčius.

Galimas ir toks atsakymas, kaip lygties šaknų nėra. Pažvelkime toliau pateiktame pavyzdyje: 5 × ² + 80 = 0, kur B = 0. Siekiant išspręsti nuolatinį terminą plinta į dešinę pusę, po šių veiksmų, mes gauname: 5x ² = -80, o dabar kiekviena dalis yra padalyta iš penkių: x ² = minus šešiolikos. Jei bet koks skaičius kvadratu, neigiamas vertė gauname. Apie tai mūsų atsakymas yra toks: ne lygtys ten šaknis.

skilimas trinarė

kvadratin lygtis užduotis gali skambėti kitaip: kad būtų suskaidytos kvadratin Trinomial į veiksnių. Tai gali būti atliekama naudojant šią formulę: a dalis _{(x-1) (x-2).} Už tai, kaip ir kitose atskaitos įsikūnijimas, būtina rasti diskriminantinis.

Apsvarstykite šį pavyzdį: 3x ² -14h-5, suyra į mnozheteli Trinomial. Rasti diskriminantinis naudojant jau žinomas formulę, ji yra nustatyta, kad 256. Dabar dėmesį, kad 256 yra didesnė už nulį, todėl lygtis turės du šaknis. Juos rasti, kaip ir ankstesnėje dalyje, mes turime: x = atėmus penkis ir trečdalis. Naudoti formulę skilimo Trinomial dėl mnozheteli 3 (x-5) (x + 1/3). Antroje laikiklio turime lygybės ženklu, nes formulė yra verta minuso ženklu, o šaknis, taip pat yra neigiamas, naudojant pagrindines žinias matematikos, į sumą turime pliuso ženklą. Kad būtų paprasčiau, mes dauginti pirmą ir trečią kadenciją iš lygties atsikratyti frakcijos: (x-5) (x + 1).

Lygtys sumažinamas iki aikštėje

Šiame skyriuje mes sužinoti, kaip išspręsti sudėtingesnes lygtis. Mes pradėsime iš karto, pavyzdys:

(X ² - 2x) ² - 2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Galime pastebėti pasikartojančius elementus: (x ² - 2x), patogus mums sprendimų pakeisti jį kitu kintamuoju, o tada spręsti įprastas kvadratinė lygtis, iš karto pažymi, kad ši užduotis gauname keturias šaknis, tai neturėtų gąsdinti jums. pasikartojimai kintamasis ir žymi. Mes gauti ² 2A-3 = 0. Kitas mūsų žingsnis - yra rasti naują diskriminantinę lygtį. Mes gauname 16, randame du šaknis: minus vieną arba tris. Mes prisimename, kad mes padarėme pakeisti, pakeisti šias vertybes, kaip rezultatas, mes turime lygtį: x ² - 2x = -1; x ² - 2x = 3. Jų sprendimo pirmoje atsakymo: x yra viena, antra: x yra minusas vienas ir trys. Rašyti atsakymą taip: plius / minus vieną arba tris. Paprastai, atsakymas yra parašyta didėjimo tvarka.

kubinių

Panagrinėkime kitą variantą. Tai apie kubinių lygtis. Jie turi formą: ax ³ + BX ² + CX + d = 0. Pavyzdžiai lygtis manome toliau, ir pradėti su šiek tiek teorijos. Jie gali turėti tris šaknis, nes yra rasti kubinių lygtis diskriminantinis formulė.

Atsižvelgti į šį pavyzdį: 3 + ³ 4 ² + 2 = 0. Kaip ją išspręsti? Norėdami tai padaryti, mes tiesiog imti skliausteliuose X: X (3 + ² "4 + 2) = 0. Visi mes turime padaryti - tai apskaičiuoti iš lygties šaknis skliausteliuose. Iš kvadratinės lygties skliausteliuose diskriminantinė yra mažesnė, negu nulis, šiuo pagrindu, turi šaknų išraiška: x = 0.

Algebra. lygtis

Eiti į kitą akyse. Dabar mes trumpai apsvarstyti algebrinė lygtis. Vienas iš uždavinių yra taip: maršrutų grupavimas metodas paskirstyti ant mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 × ² + 2 + 5. Labiausiai patogus būdas yra sekanti grupė: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + (2x ³ + 2) + (5 × ² 5). Atkreipkite dėmesį, kad 8 × ² nuo pirmos išraiškos mes pateikiamas kaip 3 sumos ir ² 5x ^2. Dabar mes imti kiekviena skliaustuose 3 bendras veiksnys ² (x2 + 1) 2 + (X ² 1) 5 ⁽² x 1). Mes matome, kad turime bendrą faktorius X kvadratu plius vienas, kad jį iš skliausteliuose: (1 x ²⁾ (3 ² + 2 + 5). Daugiau skilimas yra neįmanoma, nes abi lygtis turi neigiamą diskriminantinis.

transcendentinės lygtys

Siūlyti elgtis su kito tipo. Ši lygtis, kurių sudėtyje yra transcendentines funkcijas, ty, logaritminis, trigonometrinių arba eksponentinis. Pavyzdžiai: 6sin ² x + TGX-1 = 0, x + 5lgx = 3 ir pan. Kaip jie sprendžiami, jūs išmoksite iš trigonometrijos.

funkcija

Galutinis etapas koncepcija, apsvarstyti lygtis funkciją. Skirtingai nuo ankstesnių versijų, šio tipo negali būti išspręsta, ir grafikas yra pagrįstas jį. Dėl šios lygties verta analizuoti, rasti visus reikiamus taškus pastate, apskaičiuoti mažiausias ir didžiausias taškų.