Iš trikampio kampų suma. Teorema apie kampus trikampio sumą

Trikampis yra daugiakampis turinti tris puses (trys kampus). Dažniausiai, dalis žymima mažosiomis raidėmis atitinkančių didžiosiomis raidėmis, kurios sudaro priešingą viršūnių. Šiame straipsnyje mes pažvelgti šių geometrinių formų, teorema, kuri apibrėžia, kas yra lygus kampai trikampio sumą tipų išvaizdą.

Tipai didžiausi kampai

Šie tipai daugiakampis su trimis viršūnių:

• ūminis status, kurioje visos kampai yra aštrus;
• stačiakampio formos, turintis vieną stačiu kampu, pusė jį formavimo, nurodytas prie kojų, ir pusė, kuri yra išdėstyta priešais stačiu kampu yra vadinamas Przeciwprostokątna;
• Neass, kai vienas kampas yra uždarymo rato ;
• lygiakraščio, kurių dviejų pusių yra lygūs, ir jie yra vadinami iš šono, o trečiasis - trikampis su baze;
• lygiakraštis turinti tris lygias puses.

savybės

Skirti pagrindines savybes, kurie būdingi kiekvienos trikampio tipo:

• priešais didžiausias pusė yra visuomet yra didesnis kampas, ir atvirkščiai;
• yra lygios kampai priešais vienodo dydį šalies, ir atvirkščiai;
• bet kuriuo trikampio turi du ūmus kampus;
• išorinis kampas didesnis nei bet kuris vidaus kampu ne greta jos;
• bet kurių dviejų kampų suma visada mažesnė nei 180 laipsnių;
• išorinis kampas lygus kitų dviejų kampų, kurie nėra mezhuyut su juo suma.

Teorema apie kampus trikampio sumą

Teorema teigia, kad jei jūs pridėti visus geometrinės formos, kuri yra Euklido plokštumoje kampus, tada jų suma bus 180 laipsnių. Pabandykime įrodyti šį teorema.

Tegul turime savavališkai trikampis viršūnių KMN. Visoje M viršų surengs tiesioginę lygiagrečiai su linija KN (net ši linija vadinama Euklido). Reikėtų pažymėti tašką A taip, kad taškai K ir A yra išdėstyti iš skirtingų pusių linijos MN. Mes gauti tą patį kampą AMS ir muf, kuri, kaip ir interjero, paduodama skersai sudaro susikertančių MN kartu su tiesioginiu KN ir MA, kurios yra lygiagrečios. Iš to išplaukia, kad iš trikampio, esančia M ir N viršūnių kampų suma yra lygi CMA kampu dydžio. Visi trys kampai sudaro suma lygi kampų KMA ir MCS suma. Kadangi duomenys yra vidiniai kampai santykiniai sided lygiagrečios linijos Cl ir CM MA ne kerta, jų suma yra 180 laipsnių. Tai įrodo teoremą.

rezultatas

Iš pirmiau minėto teorema reiškia tokią padarinys: kiekvienas trikampis turi du ūmus kampus. Norėdami tai įrodyti, tarkime, kad tai geometrinė figūra turi tik vieną smailiu kampu. Taip pat galima manyti, kad nė vienas iš kampų nėra aštrus. Tokiu atveju jis turi būti bent du kampai, mastas yra lygus arba didesnis nei 90 laipsnių. Bet tada iš kampų suma yra didesnė nei 180 laipsnių. Tačiau tai negali būti, nes pagal teorema suma kampų trikampis yra lygus 180 ° - ne daugiau ir ne mažiau. Štai ką reikėjo įrodyti.

Nuosavybės ribų kampai

Kas yra iš trikampio kampų, kurie išorės suma? Atsakymas į šį klausimą reikia atsakyti galima gauti taikant vieną iš dviejų būdų. Pirmoji yra ta, kad jums reikia rasti iš kampų, kurių imamasi po vieną kiekvienos viršūnių, tai yra, trijų kampų sumą. Antrasis reiškia, kad jums reikia rasti šešių kampų suma ne viršūnių. Kad galėtų susidoroti su pirmosios įsikūnijimas pradžioje. Tokiu būdu, trikampis yra šešios išorinius kampus - atsižvelgiama į kiekvienos iš dviejų viršuje. Kiekviena pora turi lygias kampai tarp savęs, nes jie yra vertikali:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Be to, yra žinoma, kad išorinio kampo trikampis lygus dviejų interjeras, kurios nėra mezhuyutsya su juo suma. Todėl,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Iš to atrodo, kad iš išorinių kampų, kurie atskiriami vienas po kito šalia kiekvienos viršūnių suma bus lygus:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Atsižvelgiant į tai, kad iš kampų suma yra lygi 180 laipsnių, tai galima teigti, kad ∟A + ∟V ∟S + = 180 °. Tai reiškia, kad ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Jei antras variantas naudojamas, iš šešių kampų suma bus atitinkamai didesnis du kartus. Ty trikampio kampų suma ne bus:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

teisę trikampis

Kas yra lygi iš stačiojo trikampio kampų suma yra sala? Atsakymas yra, vėlgi, iš teorema, kuri teigia, kad trikampio kampų pridėti iki 180 laipsnių. Garso mūsų teiginys (nuosavybė) taip: į stačiojo trikampio kampai aštrūs pridėti iki 90 laipsnių. Mes įrodyti savo teisingumą. Tebūnie suteikta trikampis KMN, kuris ∟N = 90 °. Būtina įrodyti, kad ∟K ∟M = + 90 °.

Tokiu būdu, atsižvelgiant į teorema dėl kampais, ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° suma. Šią sąlygą sakoma, kad ∟N = 90 °. Pasirodo, ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Tai yra ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Štai ką mes turime įrodyti.

Be pirmiau minėtų savybių stačiojo trikampio, galite pridėti šie:

• kampai, kurie guli prieš kojų aštrios;
• iš trikampio didesnio negu bet kuris iš kojų Hipotenūza;
• kojų daugiau nei Przeciwprostokątna suma;
• kojos trikampio, kuri yra priešinga 30 laipsnių kampu, pusė Przeciwprostokątna, kad yra lygi jo pusę.

Kaip kitą geometrinę formą turtas gali būti atskirtas Pitagoro teorema. Ji teigia, kad trikampio su 90 laipsnių (stačiakampio) kampu, iš kojų kvadratų suma lygi įžambinė aikštėje.

Iš kampų lygiašonio trikampio suma yra

Anksčiau minėjome, kad Lygiašonis trikampis yra daugiakampis su trimis viršūnių, kurio sudėtyje yra dviejų lygių pusių. Šis viešbutis yra žinoma geometrinė figūra: ties jo pagrindu kampai lygūs. Leiskite mums tai įrodyti.

Imtis trikampis KMN, kuris yra lygiašonis, SC - savo bazę. Mes reikalaujama įrodyti, kad ∟K = ∟N. Taigi, tarkime, kad MA - KMN yra mūsų trikampio pusiaukampinė. "ICA trikampis su pirmuoju ženklu lygybės yra trikampis MNA. Būtent, pagal hipotezę, kad suteiktas CM = NM, MA yra bendroji pusė, ∟1 = ∟2, nes MA - tai Dwusieczna. Naudojant dviejų trikampių lygybės, galima teigti, kad ∟K = ∟N. Taigi, teorema yra įrodyta.

Bet mes esame suinteresuoti, kas yra iš trikampio (lygiašonis) kampų suma. Kadangi šiuo atžvilgiu ji neturi savo funkcijas, mes pradėsime nuo teorijos aptarta anksčiau. Tai yra, mes galime pasakyti, kad ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, arba 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kaip ∟K = ∟N). Tai neįrodo turtą, kaip buvo įrodyta teorema dėl trikampio kampų suma anksčiau.

Išskyrus laikomi savybių trikampio kampuose, taip pat yra tokie svarbūs pareiškimai:

• į lygiakraščio trikampio aukštį, kuris buvo nuleista prie pagrindo, yra tuo pačiu metu mediana Dwusieczna į kampą, kuris yra tarp lygių pusių ir simetrijos ašies , panaudojimas jo bazės;
• mediana (Dwusieczna, aukštis), kuris vyksta su geometrinė figūra pusių, yra lygūs.

lygiakraštis trikampis

Jis taip pat paragino teisė, yra trikampis, kuris yra lygus visų šalių. Ir todėl taip pat lygus ir kampai. Kiekvienas iš jų yra 60 laipsnių. Leiskite mums įrodyti šį objektą.

Tarkime, kad mes turime trikampį KMN. Mes žinome, kad KM = HM = KH. Tai reiškia, kad, atsižvelgiant į kampais, esančių bazę lygiakraščio trikampio ∟K = ∟M = ∟N objekto. Nes, atsižvelgiant į korpuso kampus trikampio teorema ∟K + ∟M ∟N suma + = 180 °, tada x 3 = 180 ° ∟K arba ∟K = 60 °, 60 ° ∟M =, ∟N = 60 °. Tokiu būdu, tvirtinimas, yra įrodyta. Kaip matyti iš aukščiau įrodymais remiantis pirmiau teorema, iš kampų suma lygiakraščio trikampio, kaip ir bet kurios kitos trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. Vėlgi tai įrodantį teorema nėra būtinas.

Yra dar keletas savybių būdingos lygiakraščio trikampio:

• mediana Dwusieczna aukštis į geometrinė figūra identiški, ir jų ilgis apskaičiuojamas pagal (x "simboliu √3): 2;
• jei tai daugiakampis apgaubiant ratą, tada spindulys bus lygus (x "simboliu √3): 3;
• jei įrašytas į apskritimo lygiakraščio trikampio, jo spindulys būtų (A X √3): 6;
• plotas Geometrinė figūra yra apskaičiuojamas pagal formulę: (A2 x √3): 4.

bukas trikampis

Pagal apibrėžimą, bukas status trikampis, viena iš jo kampuose yra tarp 90 iki 180 laipsnių. Tačiau atsižvelgiant į tai, kad kiti du kampai prie geometrinės formos aštrių, tai galima daryti išvadą, kad jie neturi viršyti 90 laipsnių. Todėl trikampio kampų suma teorema veikia apskaičiuojant kampų sumą į buką trikampis. Taigi, mes galime drąsiai teigti, remiantis pirmiau teorema, kad bukas kampų trikampio suma yra 180 laipsnių. Vėlgi, tai teorema nereikia iš naujo įrodymų.