Cramerio metodas ir jo taikymas

Cramerio metodas yra vienas iš tikslių metodų sprendžiant sistemas linijinės algebrinės lygtys (SLAE). Jos tikslumas yra dėl to, kad naudojami sistemos matricos determinantai, taip pat tam tikri apribojimai, nustatyti per teorijos įrodymą.

Linijinių algebrinių lygčių sistema su koeficientais, priklausančiais, pavyzdžiui, nuo R-realių skaičių rinkinio iš nežinomų x1, x2, ..., xn yra formos išraiškų rinkinys

Ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi, jei i = 1, 2, ..., m, (1)

Kur aij, bi yra tikri skaičiai. Kiekviena iš šių išraiškų vadinama linijine lygtimi, aij - nežinomų koeficientų, lygčių beviltiškumo koeficientai.

Sistemos (1) sprendimas yra n-dimensional vektorius x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), kuris, pakeitus sistemą, vietoj nežinomų x1, x2, ..., xn, kiekviena eilutė sistemoje tampa tikra lygybe .

Sistema vadinama jungtimi, jei ji turi bent vieną tirpalą ir yra nesuderinama, jei jos sprendimas sutampa su tuščia rinkiniu.

Reikia nepamiršti, kad norint rasti tiesinių algebrinių lygčių sistemas, naudojant Cramer metodą, sistemos matricos turi būti kvadratinės, kuri iš esmės reiškia tą patį nežinomų skaičių ir lygtis sistemoje.

Taigi, norint naudoti Cramerio metodą, bent jau reikia suvokti, kokia yra matrica sistemų linijinės алгебраических lygtis ir kaip ji išrašoma. Antra, suprasti, kas vadinamas matricos determinantu ir žinoti jo skaičiavimo įgūdžius.

Tarkime, kad jums priklauso šios žinios. Nuostabus! Tada turėsite prisiminti formulę, kuri nustato Cramer metodą. Siekiant supaprastinti atmintį, mes naudojame šią žymę:

• Det yra pagrindinis sistemos matricos veiksnys;

• Deti yra determinantas matricos, gautos iš sistemos matricos, jei i-asis stulpelis matricos yra pakeičiamas stulpelio vektoriniu, kurio elementai yra dešinių pusių sistemų linijinės алгебраических lygtis;

• N yra nežinomų skaičių ir lygčių sistema.

Tada Cramerio taisyklė, skirta skaičiuojant n-dimensional vektoriaus x i komponentą xi (i = 1, ... n), gali būti užrašytas tokia forma

Xi = deti / Det, (2).

Det yra griežtai nulinis.

Sistemos sprendimo unikalumas, kai jis yra suderinamas, užtikrina, kad pagrindinis sistemos veiksnys yra nulis. Priešingu atveju, jei suma (xi), kvadratu, yra griežtai teigiama, tada SLAE su kvadratine matrica bus nenuosekli. Tai gali nutikti, kai bent vienas iš deti skiriasi nuo nulio.

1 pavyzdys . Išspręskite trimačių LAU sistemą naudodami Cramerio formules.
X1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Sprendimas. Mes rašome sistemos eilučių eilutę pagal eilutę, kur Ai yra i-oji matricos eilutė.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1 1).
Laisvo koeficiento stulpelis b = (31 29 10).

Pagrindinė Det sistema yra lemtinga
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a32 a23 a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 12 +2 10 = -27.

Norėdami apskaičiuoti det1, mes naudojame pakeitimą a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. Tada
Det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 a33 b2 a12 = ... = -81.

Panašiai apskaičiuojant det2, mes naudojame pakeitimą a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 ir atitinkamai apskaičiuoti det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Tada galite patikrinti, ar det2 = -108, ir det3 = -135.
Remiantis Cramerio formulėmis, mes randame x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5.

Atsakymas: x ° = (3,4,5).

Remdamasis šios taisyklės taikymo sąlygomis, Cramerio metodas sprendžiant linijines lygčių sistemas gali būti naudojamas netiesiogiai, pavyzdžiui, ištirti sistemą dėl galimo sprendimų skaičiaus, priklausomai nuo tam tikro parametro k dydžio.

2 pavyzdys. Nustatykite, kurioms parametro k vertes nelygybė | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 turi lygiai vieną sprendimą.

Sprendimas.
Ši nelygybė, remiantis funkcijos modulio apibrėžimu, gali būti įvykdyta tik tuo atveju, jei abi išraiškos vienu metu yra lygios nuliui. Todėl ši problema susilpnėja, kad būtų galima rasti linijinės sistemos algebrinių lygčių sprendimą

Kx - y = 4,
X + ky = -4.

Šios sistemos sprendimas yra unikalus, jei jo pagrindinis lemiamas veiksnys
Det = k ^ (2) + 1 nėra nulis. Akivaizdu, kad ši sąlyga yra tenkinama visoms realioms parametro k reikšmėms.

Atsakymas: visoms realioms parametro k reikšmėms.

Tokio pobūdžio problemoms taip pat galima sumažinti daugybę praktinių problemų, susijusių su matematikos, fizikos ar chemijos sritimi .