Iš plokštumos lygtį: kaip padaryti? Tipai plokštumos lygtis

Lėktuvas erdvė gali būti apibrėžtas skirtingai (vienas taškas ir vektorius, vektorių ir du taškai, trys taškai, ir tt). Tai atsižvelgiant į tai, kad lėktuvas lygtis gali turėti skirtingų tipų. Taip pat esant tam tikroms sąlygoms plokštuma gali būti lygiagreti, statmenai, susikertančių ir kt Apie tai ir bus kalbama šiame straipsnyje. Mes išmoksite atlikti bendrą lygtį plokštumos ir ne tik.

Normalioji forma lygtį

Manyti, R yra erdvė _3, kuris turi stačiakampio formos koordinačių sistemoje XYZ. Mes apibrėžti vektoriaus α, kuris bus išleistas iš pradinio taško O. Per vektoriaus alfa pabaigoje atkreipti plokštuma P, kuri yra statmena į jį.

Žymi 'P' savavališkai taškas Q = (x, y, z). Spindulys vektorius taške Q ženklas raide p. Vektoriaus ilgis yra lygus alfa p = IαI ir Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Šis įrenginys vektorius, kuris yra nukreiptas į kryptimi, kaip ir vektoriaus alfa. α, β ir γ - yra kampai, kad yra suformuota tarp vektorių ir teigiamų kryptimis Ʋ plotas ašių x, y, z atitinkamai. Iš taško vektoriaus QεP Ʋ projekcija yra konstanta, kuri yra lygi p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Pirmiau lygtis yra prasminga, kai p = 0. Vienintelis n plokštumos, šiuo atveju, kirstų tašką O (α = 0), kuri yra kilmės, ir vienetas vektoriaus Ʋ, išleistas iš O punktas bus statmena P, nors jos kryptis, tai reiškia, kad vektorius Ʋ nustatomas iki ženklo. Ankstesnė lygtis yra mūsų plokštuma P, išreikštas vektoriaus forma. Tačiau, atsižvelgiant į jos koordinates yra:

P yra didesnis negu arba lygus 0. Mes nustatėme, plokštumos lygtį į normalios formos.

Bendroji lygtis,

Jei per koordinačių lygtis padauginti bet skaičių, kuris yra nėra lygus nuliui, mes gauti lygtis lygiavertis šiam, kuri apibrėžia pačią plokštumoje. Jis turės šią formą:

Čia, A, B, C - yra tuo pačiu metu skaičius skiriasi nuo nulio. Ši lygtis yra vadinamas bendro rūšies plokštumoje lygtis.

Iš plokštumų lygtys. Ypatingi atvejai

Lygtis paprastai gali būti keičiami su papildomomis sąlygomis. Apsvarstykite kai kuriuos iš jų.

Manyti, kad koeficientas A yra 0. Tai rodo, kad plokštuma, lygiagreti iš anksto nustatytos ašies jaučio. Šiuo atveju, lygtys forma keičia: Vu + Kt + D = 0.

Panašiai lygties forma ir skirsis su šiomis sąlygomis:

• Pirma, jei b = 0, lygtis pakeitimai Axe + Cz + D = 0, kuris rodytų, kad lygiagrečiai ašies Oy.
• Antra, jei C = 0, lygtis yra transformuojamas į Ax + By + D = 0, tai yra pasakyti apie lygiagrečiai su iš anksto nustatytos ašies Oz.
• Trečia, jei D = 0, lygtis bus rodomi kaip Ax + By + Cz = 0, o tai reikštų, kad lėktuvas kerta O (kilmės).
• Ketvirta, jei A = B = 0, lygtis pokyčiai CZ + D = 0, kuris bus įrodyti, lygiagretumo OXY.
• Penkta, jei B = C = 0, lygtis tampa Ax + D = 0, tai reiškia, kad plokštuma yra lygiagreti Oyz.
• Šešta, jeigu A = C = 0, lygtis laikosi formą Vu + D = 0, t.y., bus pranešti lygiagretumo Oxz.

Forma segmentų lygtį

Tuo atveju, kai numeriai A, B, C, D skiriasi nuo nulio, iš lygties forma (0) gali būti taip:

x / a + y / b + z / c = 1,

kur a = -D / A, B = -D / b, c = -D / C.

Mes gauname kaip rezultatas lygtį plokštumos į gabalus. Reikia pažymėti, kad šis lėktuvas bus susikerta x-ašį taške su koordinačių (a, 0,0), Oy - (0, B, 0), ir Oz - (0,0, S).

Atsižvelgiant į lygtis x / a + y / b + z / c = 1, tai nėra sunku vizualizuoti vieta plokštuma, palyginti su iš anksto nustatytu koordinačių sistemos.

Į įprastų vektoriaus koordinatės

Normalioji vektoriaus n plokštumai P turi koordinates, kurios yra bendrojo lygtį plokštumos, t.y. n (A, B, C), koeficientai.

Siekiant nustatyti įprastą n koordinates, pakanka žinoti bendrą formulę atsižvelgiant lėktuvas.

Kai naudojant segmentuose lygtis, kuri, forma x / a + y / b + z / c = 1, kaip, kai naudojant bendrą formulę gali būti parašyta koordinates bet kuris normalus vektoriumi suteiktas plokštuma: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Reikėtų pažymėti, kad normalus vektorius padėti išspręsti įvairias problemas. Dažniausiai problemos, kurią sudaro įrodymas statmenų arba lygiagrečiose plokštumose, kad ieškant tarp plokštumų arba tarpas tarp plokštumų ir tiesios linijos kampų kampai užduotį.

Tipo pagal plokštumos lygtį ir koordinatės taško normaliam vektoriaus

Nulio vektoriaus n, statmenai į tam tikrą plokštumoje, vadinamas normalus (normalus) su iš anksto nustatyta plokštumoje.

Manyti, kad koordinačių erdvėje (stačiakampio formos koordinačių sistemą) Oxyz nustatyti:

• Mₒ punktas su koordinačių (hₒ, uₒ, zₒ);
• nulis vektoriaus n = A * i + B + C * j * k.

Jums reikia padaryti lygtį plokštumos, kuri eina per Mₒ taško statmenai į įprastą n.

Erdvėje mes pasirinkti bet savavališkai taškas ir žymi M (x, y, z). Leisti spindulys vektorių kiekvieno M taške (x, y, z) bus r = x * i + y * j + Z * k ir spindulys vektorius iš Mₒ punktas (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Taškas M bus priklauso tam tikroje plokštumoje, jeigu vektorius MₒM būti statmena vektoriaus n. Mes rašome apie ortogonalumas būklę naudojant skaliarinį produktą:

[MₒM, N] = 0.

Nuo MₒM = r-rₒ, vektorius lygtis plokštumoje atrodys taip:

[R - rₒ, N] = 0.

Ši lygtis gali turėti kitą formą. Šiam tikslui, kad Skaliarinė produkto savybės, ir modifikuoto kairėje pusėje lygtį. [R - rₒ, N] = [R, n] - [rₒ, n]. Jei [rₒ, n], nurodoma kaip s, mes gauti šią lygtį: [R, n] - a = 0 arba [R, N] = s, kuri išreiškia normaliam vektoriaus spindulys-vektorius, kai tam tikro kiekis, priklausantiems plokštuma projekcijų pastovumą.

Dabar galima gauti koordinačių tipas įrašymo plokštuma mūsų vektoriaus lygtis [R - rₒ, N] = 0. Nuo R-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * J + (Z-zₒ) * k ir n = A * i + B * j + C * k, turime:

Pasirodo, kad mes turime lygtis yra suformuota plokštuma, einančia per tašką statmenai į įprastą n:

A * (x hₒ) + B * (Y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

Įveskite atsižvelgiant į lėktuvo lygtį ir koordinuoja dviejų taškų vektorius lėktuvo kolinearus

Mes apibrėžti du savavališkų taškų M '(x', y ', z') ir M "(X, Y" ", Z"), taip pat vektorių (a ', A ","').

Dabar mes galime rašyti lygtis iš anksto plokštuma, kuri eina per esamą tašką M "ir" M, ir kiekvienas taškas su koordinačių M (x, y, z) lygiagrečiai tam tikrą vektorių.

Taigi M'M vektoriai x = {x ', y-y "; zz'} ir M" M = {x "X 'arba, y" y "; Z" -z'} turėtų būti vienoje plokštumoje su vektoriumi a = (a "a", " '), tai reiškia, kad (M'M M", M, A) = 0.

Taigi, mūsų lygtis tam tikras erdvės plokštumoje atrodys taip:

Tipas plokštumos lygtį, kerta tris taškus

Tarkime, mes turime tris taškus (x, y ', z'), (x, y ', z) (x "' Have" ', Z "'), kuri nepriklauso tos pačios linijos. Būtina parašyti lygtį plokštumos, einančios per tris nurodytus punktus. geometrijos teorija teigia, kad egzistuoja ši plokštuma Geras, tai tik vienas ir vienintelis. Nes ši plokštuma kerta tašką (x ', y', Z '), jos lygtis forma būtų:

Čia, A, B ir C yra skirtingi nuo nulio tuo pačiu metu. Taip pat suteiktas plokštuma kerta du daugiau taškų (x ", Y", Z ") ir (x" ', y "', Z" '). Šiuo atžvilgiu turėtų būti atliekamas šis sąlygų natūra:

Dabar mes galime sukurti vienodą sistemą lygtis (tiesinis) su nežinomųjų U, V, W:

Mūsų atveju, kai X, Y arba Z žymi savavališkai taškas, kuris atitinka lygtį (1). Atsižvelgiant lygtį (1) ir lygtis (2) ir (3), nurodytus pirmiau pateiktą schemą lygtis sistemos sistemą, vektorius atitinka N (A, B, C), kuris yra nontrivial. Tai yra todėl, kad sistemos determinantas yra lygus nuliui.

Lygtis (1), kad mes turime, tai yra plokštumoje lygtys. 3 vieta ji tikrai eina, ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, mes išplėsti determinantą pagal pirmoje eilėje elementų. Esamos savybės veiksnys taip, kad mūsų lėktuvas vienu metu kerta trys iš pradžių nustatyto taško (x, y ', z), (X "y" z "), (X"', y ' "z"'). Taigi mes nusprendėme užduotis priešais mus.

Divplakņu kampas tarp plokštumų

Divplakņu kampas yra erdvinių geometrinė forma suformuota iš dviejų puse-plokštumų, parengtos nuo tiesios linijos. Kitaip tariant, dalis erdvė, kuri yra apribota iki puse-plokštumų.

Tarkime, mes turime du lėktuvą su šių lygčių:

Mes žinome, kad vektorius N = (A, B, C) ir Nx = (Â ¹, H¹, S ^) pagal iš anksto nustatytas plokštumų yra statmenas. Šiuo atžvilgiu, kampas φ tarp vektorių N ir Nx lygus kampas (Divplakņu), kuris yra tarp šių plokštumų. Skaliarinių produktas yra apskaičiuojamas pagal formulę:

NN¹ = | N || Nx | cos φ,

būtent todėl,

cosφ = NN¹ / | N || Nx | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (Â ¹) ² + (H¹) ² + (S ^) ²)).

Tai pakankamai manyti, kad 0≤φ≤π.

Faktiškai dviejų plokštumų, kad susikerta, sudaro dvi kampas (Divplakņu): ę ₁ ir _{2 φ.} Jų suma yra lygi π (ę ₁ + ₂ = ę π). Kaip jų jaukumą, jų absoliutūs dydžiai yra lygūs, bet jie yra skirtingi ženklai, tai yra, cos ę ₁ = -cos φ _2. Jei lygtį (0) pakeičiamas A, B ir C -A, -B ir -C atitinkamai, lygtį, mes gauti, bus nustatyti tą patį toje pačioje plokštumoje, tik kampas φ lygtyje cos ę = NN ¹ / | N || N ¹ | Jis bus pakeistas π-ę.

Iš statmena plokštumai lygtis

Vadinamas statmena plokštumai, tarp kurių kampas yra 90 laipsnių. Naudojant pirmiau pateiktą medžiagą, mes galime rasti plokštumos lygtį statmenai į kitą. Atrodo, kad mes dvi plokštumas: Ax + + Iki Kt "+ D = 0 ir + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Galime sakyti, kad jie yra statmenos, jei cos = 0. Tai reiškia, kad NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Paraleliniam plokštumos lygtis

Jis nurodytas dviem lygiagrečiomis plokštumomis, kurios sudėtyje neturi taškų bendro.

Su sąlyga, lygiagrečių plokštumų (jų lygtis yra tokie patys kaip ankstesniame punkte) yra tai, kad vektoriai N ir Nx, kurie yra statmena jų, vienoje tiesėje. Tai reiškia, kad šios sąlygos yra įvykdytos proporcingumas:

A / Â ¹ = B / C = H¹ / S ^.

Jei proporcinga terminai išsiplėtė - A / Â ¹ = b / c = H¹ / S ^ = DD¹,

Tai rodo, kad duomenų plokštumos tą patį. Tai reiškia, kad lygtis Ax + padidėja + Cz + D = 0 iki + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 apibūdinti vienoje plokštumoje.

Atstumas nuo taško iki plokštumos

Atrodo, kad mes lėktuvo P, kuris duodamas (0). Būtina rasti atstumą nuo taško, kurio koordinatės (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Jums reikia kreiptis į lygtį plokštumos II įprastą išvaizdą, kad ji:

(Ρ, v) = P (r≥0).

Šiuo atveju, ρ (x, y, z) yra spindulys vektorius mūsų Q punktas, esantis n p - n yra statmena, kuris buvo išleistas iš nulinio taško ilgis, prieš - yra įrenginys vektorius, kuris yra sumontuotas ta kryptimi, a.

Skirtumas ρ-ρº spindulys vektorius taško Q = (x, y, z), priklausanti n ir spindulys vektorius tam tikru ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) yra toks vektorius, dėl Q absoliuti vertė iškyšos iš kurių prieš lygus atstumas d, kuris yra būtina rasti iš Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ ^ρ-0, v) |, bet

(Ρ ^ρ-0, v) = (ρ, prieš ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Taigi paaiškėja,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Dabar aišku, kad apskaičiuoti atstumą d nuo ₀ iki Q plokštumos P, būtina naudoti Normalus vaizdas plokštumos lygtį, perėjimas prie p kairėje, ir paskutinė vieta X, Y, Z pakaitalas (hₒ, uₒ, zₒ).

Taigi, mes rasti absoliučią vertę gaunama išraiška, kuri yra reikalinga r.

Naudojant kalbos parametrus, mes gauname akivaizdus:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Jei nurodyta taškas Q ₀ yra iš kitos pusės nuo plokštumos, P kaip kilmės, tada tarp vektorių ρ ^ρ-0 ir v yra uždarymo rato, tokiu būdu:

d = - (ρ ^ρ-0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Tuo atveju, kai taškas Q ₀ kartu su kilmės esančio ant tos pačios pusės į U, ūmaus kampas yra sukurta, kad yra:

d = (ρ ^ρ-0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

Rezultatas yra tai, kad buvusioje byloje (ρ ^0, t)> p, antroje (ρ ^0, t)

Ir jos liestinė plokštuma lygtis

Dėl plokštumos iki paviršiaus lietimosi Mº punkte - plokštuma, kurių sudėtyje yra visas galimas liestinės kreivė, nubrėžta per tą punkte ant paviršiaus.

Su šio paviršiaus formos lygtis F (x, y, z) = 0 atsižvelgiant į Mº liestinė plokštuma liestinės taške lygtį (hº, uº, zº) būtų:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº Y) + F _x (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Jei paviršius yra nustatytas aiškiai z = f (x, y), tada liestinė plokštuma yra aprašyta pagal lygtį:

Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (Y uº).

Dviejų plokštumų sankirta

Į trimatėje erdvėje yra koordinačių sistema (stačiakampio) Oxyz, suteiktas dviejų plokštumų P "ir P ', kurie persidengia ir nesutampa. Nes bet koks plokštumoje, kuri yra stačiakampius koordinačių sistemą, apibrėžtą iš bendrojo lygtį, mes manyti, kad n "ir n" yra apibrėžti lygtis A'x + V'u S'z + + D '= 0 ir A "+ B x" + y su "z + D" = 0. Šiuo atveju turime normalų N '(A', B ', C') plokštumoje P "ir normalaus n" (A, B ", C") iš plokštumos P ". Kadangi mūsų lėktuvas nėra lygiagretūs ir nesutampa, tada šie vektoriai yra ne tiesėje. Naudojant matematikos kalbą, turime ši sąlyga gali būti parašytas kaip: N '≠ n "↔ (A, B, C") ≠ (λ *, o ", λ * in", λ * C "), λεR. Tegul tiesia linija, kuri yra Sankryžoje P 'ir p ", bus žymimas raide a, šiuo atveju = P" ∩ P ".

ir - linija sudaryta iš kiekis (dažnai) plokštumos P 'ir p "daugybės. Tai reiškia, kad bet kokios linijos A taško koordinatės, tuo pačiu metu turi tenkina lygtį A'x + V'u S'z + + D '= 0, o "x + b + C' y" z + D "= 0. Tai reiškia, kad taško koordinatės bus ypač sprendimas iš šių lygčių:

Rezultatas yra tai, kad tirpalas (bendra) šio sistemos lygtis bus nustatyti kiekvieno kiekis koordinates ant linijos, kuri bus veikti kaip susikirtimo P "ir" P "" punkte, ir nustatyti liniją koordinačių sistemos Oxyz (stačiakampio) kosmoso.