Furjė transformacija. Sparčioji Furjė transformacija. Diskrečioji Furjė transformacija

Furjė transformacija - transformacija, jungiančių tam tikrą funkciją realus kintamasis. Ši operacija atliekama kiekvieną kartą mes suvokiame skirtingus garsus. Ausų gamina automatinį "skaičiavimus", kurios atitinka mūsų sąmonę galima tik po to, kai aukštosios matematikos skyriuje egzaminą. klausos organą žmogaus transformacijos konstruoja, kurių garso (paprastųjų vibracinę iš dalelių elastiniu terpėje, kuri besidauginančiuose bangų formos kieto, skysto ar dujų pavidalo terpė yra) yra pateikiami įvairiais gretimų verčių tūrio lygio tonų įvairaus aukščio diapazone. Po to, smegenys virsta informaciją į visas pažįstamas garsas.

Matematinė Furjė transformacija

Konversijos garso bangų ar kitokią vibracijos procesų (šviesos emisijos ir vandenyno potvynio ir žvaigždžių ar saulės ciklų), gali būti atlikti ir naudojant matematinius metodus. Taigi, naudojant šiuos metodus, funkcijos gali būti išplėsta įvedant rinkinys sinusinių komponentų, t.y. banguotų kreivių, kurie išeina iš mažiausio iki didžiausio ir tada vėl iki minimumo, kaip jūros bangos vibracinių procesus. Furjė transformacijos - transformacijos funkcija, kuri aprašoma fazės ar amplitudė kiekvieno sinusoidės, atitinkančios ypač dažnį. Fazė yra pradinis taškas kreivės, ir amplitudės - apie savo aukščio.

Furjė transformacija (pavyzdžiai pateikti nuotraukoje) yra labai galingas įrankis, kuris yra naudojamas įvairių mokslo sričių. Kai kuriais atvejais, jis yra naudojamas kaip tirpalas, o sudėtingas lygtis, kuri apibūdina dinaminius procesus, vykstančius pagal šviesos, šilumos ar elektros energijos poveikio. Kitais atvejais, jis leidžia jums apibrėžti reguliarias komponentus sudėtingų signalų, dėl to gali būti tiesa, interpretuoti įvairias eksperimentines pastabas, chemijos, medicinos ir astronomijos.

istorinė informacija

Pirmasis asmuo taikyti šį metodą buvo Prancūzijos matematikas Zhan Batist Fure. Konversija, vėliau pavadintas po jo, iš pradžių buvo naudojamas apibūdinti šilumos laidumo mechanizmas. Furjė visą savo suaugusiųjų gyvenimą užsiima studijuoja šilumos savybes. Jis padarė milžinišką indėlį į matematinės teorijos apie Algebrinė lygtis šaknų nustatymo. Furjė buvo Analizės profesorius Ecole Polytechnique, iš egiptologii instituto sekretorius, buvo Imperial Service, kuris sukėlė sąmyšį ne statybos kelyje į Turino metu (jam vadovaujant buvo nusausinta daugiau nei 80 tūkstančių kvadratinių kilometrų maliarijos pelkėse). Tačiau visa tai aktyvizmas nesustabdė mokslininkas užsiima matematinės analizės. 1802 ji buvo gauta lygtį, kurioje aprašoma šilumos sklidimą kietų medžiagų. 1807, mokslininkas atrado būdą sprendžiant šią lygtį, kuri tapo žinoma kaip "Furjė transformacija".

šilumos laidumo analizė

Mokslininkai naudojamas matematinis metodas apibūdinti šilumos laidumo mechanizmas. Patogi pavyzdys, kuriame nėra skaičiavimų problema yra šilumos energijos dauginimas geležiniu žiedu, viena dalis panardintas į ugnį. Atlikti eksperimentai Furjė Red Hot dalį žiedo ir palaidoti jį smulkiu smėliu. Po to, temperatūros matavimai atliekami į priešingą jo dalis. Iš pradžių, šilumos paskirstymas, yra neteisingas: dalis žiedo - šalta, o kitas - karšta, tarp zonų gali stebėti aštrus temperatūros gradientas. Tačiau per šilumos pasiskirstymą metalo paviršiaus, ji tampa vienodas. Taigi, netrukus šis procesas įgauna sinusinės bangos formą. Pirma grafikas palaipsniui didėja ir mažėja sklandžiai, tiksliai variacijos su kosinuso ar sine funkcija įstatymus. Bangų palaipsniui išlyginti ir kaip rezultatas temperatūra tampa vienodas visame paviršiuje žiedo.

Šio metodo autorius manė, kad pirminis paskirstymas yra gana nereguliarus gali būti išskaidytas į keletą elementarių sinusinės bangos skaičius. Kiekvienas iš jų turės savo etapą (pradinė padėtis) ir didžiausią temperatūrą. Taigi, kiekvienas toks komponentas pokyčiai nuo mažiausio iki ne daugiau ir atgal į apsisukimo aplink žiedas sveikasis skaičius kartų. Komponentas turi laikotarpį, kuris buvo vadinamas pagrindinis Lieknas, o vertė su dviejų ar daugiau laikotarpių - antras ir tt. Pavyzdžiui, matematinė funkcija, kuri apibūdina maksimalią temperatūrą, fazės ar pozicija vadinama Furjė transformaciją paskirstymo funkciją. Mokslininkas atnešė vieną komponentą, kuris yra sunku matematinis aprašymas, už lengva-to-naudoti įrankius - eiles sine ir kosinuso, į suteikiant pradinį paskirstymą sumos.

Analizės esmė

Taikant šią analizę su šilumos paskirstymą kietą objektą tokį konversiją, turintys žiedinį formą, matematikas pagrįstą, kad vis laikotarpius laidininko sinusoidinių komponentų sukelti prie greito jo slopinimo. Tai aiškiai matyti iš pagrindinių ir antrosios harmonikos. Galutinis temperatūra pasiekia dvigubai maksimalų ir minimalų vertes, į vieną perdavimą, ir pirmasis - tik vieną kartą. Pasirodo, kad nuvažiuotas atstumas šiluma antroje harmonikos yra pusė, kad šerdies. Be to, antrosios pusės gradientas taip pat bus statesnė nei pirmasis. Todėl, kadangi intensyvesnis šilumos srautas eina našlė minimalų atstumą, tai bus slopinamas harmonikos keturis kartus greičiau nei pagrindinis, kaip laiko funkcija. Toliau procesas bus dar greitesnis. Matematikas manoma, kad šis metodas leidžia mums apskaičiuoti pradinio platinimo temperatūroje laiko procesą.

Skambučių amžininkai

Furjė transformacija algoritmą tapo iššūkiu teorinius pagrindus matematikos laiko. Be XIX amžiuje, žymiausių mokslininkų, įskaitant Lagrange, Laplaso, Puasono, Legendre ir Biot nepriėmė jo teiginį, kad pirminio platinimo temperatūra skaidomos į dalis, atsižvelgiant į pagrindinio bangų ir aukštojo dažnio forma. Tačiau mokslų akademija negalėjo ignoruoti gautus matematikas rezultatus ir suteikė jam premiją už šilumos laidumo įstatymų teorijos, taip pat atlieka savo palyginimus su fizinių eksperimentų. Be Furjė metodu, pagrindinis prieštaravimas yra tai, kad nepertraukiamo funkcija yra atstovaujama kelių sinusinių funkcijų, kurios yra nuolat suma. Po to, kai visi, jos apibūdina suardymo tiesios ir lenktas linijas. Šiuolaikinis mokslininkas niekada susidūrė su tokia situacija, kai Aprašomo nuolatinis, pavyzdžiui, kvadratinė, linijinis, sinusas ar dalyvio kartu nenuolatinių funkcijos. Tuo atveju, matematikas buvo teisus savo tvirtinimais, kad begalinis serijos trigonometrinių funkcijų suma turi būti apribota iki miesto greičiu. Nors toks teiginys atrodė absurdiška. Tačiau, nepaisant kai kurių mokslininkų (pvz Claude Navier, Sofi Zhermen) abejonių išplėsti mokslinių tyrimų apimtį ir juos išvedžiau iš šilumos paskirstymo analizė. Matematikos, tuo tarpu, ir toliau kenčia ar kelių sinusinių funkcijų suma sumažinta iki miesto atstovavimo sprogus klausimą.

200 metų istorija

Ši teorija vystėsi per du šimtmečius, šiandien jis pagaliau suformuota. Su erdvinių arba laiko funkcijų pagalba yra suskirstytas į sinusinių komponentų, kurių dažnio, fazės ir amplitudės. Šis perskaičiavimo gaunama dviejų skirtingų matematinių metodų. Pirmasis iš jų yra naudojamas tuo atveju, kai šaltinis yra nuolatinė funkcija, o antrasis - tuo atveju, kai ji yra atvaizduotas diskretinių atskirų pokyčių daugybės. Jei išraiška gaunama iš vertybių, kurios yra apibrėžtos atskiruose intervalais, jis gali būti suskirstyti į keletą atskirų sinusiniai dažnių išraiškos - nuo mažiausių ir tada dvigubai, trigubai ir tt virš pagrindinių. Ši suma yra vadinamas Furjė eilutė. Jei pradinė išraiška nustato kiekvieno realusis skaičius vertę, jis gali būti suskirstytas į keletą sinusinių visais įmanomais dažniais. Jis vadinamas Furjė integralas, ir sprendimas reiškia sudėtinė funkcija transformaciją. Nepriklausomai nuo gavimo transformaciją, kiekvieno dažnio turėtų nurodyti du skaičiai metodas: amplitudę ir dažnį. Šios reikšmės yra išreikštas vienu kompleksinio skaičiaus. Išraiška kompleksinių kintamųjų teorija kartu su Furjė transformacijos atlikti skaičiavimai leido įvairių elektros grandinių projektavimas, mechaninių virpesių analizė, bangų sklidimo mechanizmo ir kitas tyrimas.

Furjė transformacija šiandien

Šiandien, šio proceso tyrimas iš esmės suvesta rasti veiksmingus metodus perėjimo nuo funkcijai paversti jį atgal į galvą. Šis sprendimas yra vadinamas tiesioginis ir atvirkštinis Furjė transformacija. Ką tai reiškia? Siekiant nustatyti, neatskiriama ir padaryti tiesioginis Furjė transformacija, galite naudoti matematinius metodus, bet jūs galite analitinius. Nepaisant to, kad, kai jie naudojami praktikoje yra sudėtinga, dauguma integralai jau buvo nustatyta ir įrašyta į matematinės vadovėlių. Su skaitinių metodų pagalba gali būti skaičiuojami posakių, kurio forma yra pagrįsta eksperimentiniais duomenimis, funkcijos, kurios yra trūkstama integralai lentelėse, ir jie yra sunku įsivaizduoti analitinio forma.

Prieš Kompiuterių inžinerijos skaičiavimus atėjimas tokios transformacijos buvo labai varginantis, jie reikalauja vadovą vykdymą daug aritmetinių operacijų, kurios priklauso nuo taškų, kurie apibūdina banginė funkcija skaičiui. Siekiant palengvinti atsiskaitymą šiandien, yra specialios programos, leista įgyvendinti naujų analitinių metodų. Taigi, 1965 metais, Dzheyms Kuli ir Dzhon Tyuki sukūrė programinę įrangą, kuri tapo žinoma kaip "Sparčiosios Furjė transformacijos". Tai taupo skaičiavimo metu mažinant sandaugų skaičiaus kreivės analizė. "Sparčiosios Furjė transformacijos" Metodas remiasi dalijant kreivę į daugybę vienodų imčių reikšmių. Taigi, Daugyba skaičius sumažintas perpus tuo pačiu sumažinti taškų skaičių.

Taikant Furjė transformacija

Šis procesas yra naudojamas įvairiose srityse: Be skaičių teorijos, fizikos, signalų apdorojimo, kombinatorikos, tikimybių teorijos, kriptografija, statistika, okeanografijos, optika, akustika, ir kitų geometrija. Turtingas galimybės jo naudojimo yra pagrįstos naudingų funkcijų, kurios yra vadinamos skaičius "savybės Furjė transformaciją." Panagrinėkime juos.

1. konvertavimo funkcija yra linijinė operatoriaus ir atitinkamas normalizavimas yra vienetinės. Šis viešbutis yra žinomas kaip Parseval teorema arba bendrojo atveju teorema Plansherelja arba Pontrjagin dualizmas.

2. konversija yra grįžtamas. Be to, priešingai rezultatas yra iš esmės panašios formos, kaip tiesioginio kreipimosi.

3. sinusiniai pagrindiniai išraiškos yra jų pačių diferencijuotos funkcijos. Tai reiškia, kad toks atstovavimas keičia linijų lygtis su pastoviais koeficientais įprastu algebriniais.

4. Pasak "Konvoliucija" teorema, procesas daro sudėtingą operaciją pradinėje daugyba.

5. Diskrečioji Furjė transformacija gali būti greitai sukurta kompiuteryje naudojant "greitai" metodą.

Variacijos Furjė transformacija

1. Dažniausiai šis terminas vartojamas nuolat transformacijos, teikiant bet kokią kvadratin integrable išraišką kaip kompleksinio eksponentinio išraiška suma su konkrečių kampinis dažnių ir amplitudės. Ši rūšis turi keletą įvairių formų, kurios gali būti skirtingi nuolatiniais koeficientą. Nuolatinis metodas apima konversijos lentelę, kuri galima rasti matematines vadovėlių. Apibendrintas atvejis yra trupmeninė konversija, kuriuo šis procesas gali būti padidinta iki norimo realią galią.

2. nepertraukiamos yra ankstesnio technika Furjė eilutė apibūdinta bet apibendrinimo periodinių funkcijų arba išraiškos, kuris egzistuoja ribotoje erdvėje ir atstovauja juos kaip sinusoidžių serijos.

3. Diskrečioji Furjė transformacija. Šis metodas yra naudojamas skaičiavimo mokslinio skaičiavimo ir skaitmeninio signalų apdorojimo. Norėdami atlikti šį skaičiavimo tipą reikia turėti nustatyti nuo diskrečiųjų rinkinį atskirų taškų, periodiškai arba ribotos regiono vietoj nuolatinių Furjė integralai funkciją. Signalo konvertavimas šiuo atveju atstovavo sinusoidžių suma. Iš "greitai" metodo naudojimas leidžia skaitmeninių sprendimų visais praktiniais tikslais.

4. Langas Furjė transformacija yra apibendrintas požiūris į klasikinį metodą. Skirtingai nuo standartinių tirpalų, kai signalas spektras naudojamas, paimtas į pilną egzistavimo šis kintamasis yra ypač svarbus čia yra tik vietinis dažnių pasiskirstymas kartu išlaikant originalų kintamasis (laikas).

5. dvimatę Furjė transformacija. Šis metodas yra naudojamas dirbti su dvimačių masyvų duomenų. Tokiu atveju, konversija atliekama viena kryptimi, o po to - į kitą.

išvada

Šiandien Furjė metodas yra tvirtai įtvirtinti įvairių mokslo sričių. Pavyzdžiui, 1962 m otworzywszy DNR dvigubos spiralės, naudojant Furjė analizę kartu su rentgeno spinduliuotės difrakcijos formą. Neseniai kristalai orientuota į DNR pluoštų, todėl vaizdas, kuris gaunamas difrakcijos, įrašytą filmo. Ši nuotrauka suteikė informaciją apie amplitudės verte naudojant Furjė transformacija į šį kristalinės struktūros. Fazės duomenys, gauti lyginant DNR difrakcijos korteles su kortelėmis, kad duomenys, gauti iš panašių cheminių struktūrų analizė. Kaip rezultatas, biologai atkurta kristalinės struktūros - pirminę funkciją.

Furjė transformacija vaidina didžiulį vaidmenį kosmoso, puslaidininkių medžiagų ir kraujo plazmoje, mikrobangų akustika, okeanografijos, radaras, seismologijos ir medicininių tyrimų fizikos studijų.